时间连通图最优设计的复杂性

我们研究了在各种约束下设计低代价时间连通图的问题。主要考虑具有 $n$ 个顶点的无向图，其中每条边关联一组离散可用时刻（标签）。从顶点 $u$ 到顶点 $v$ 的行程是指一条从 $u$ 到 $v$ 的路径，其连续路径边的标签严格递增。若存在任意顶点对 $u,v,~u\not= v$ 之间的 $(u,v)$-行程，则该图是时间连通的。我们首先给出一个简单的多项式时间算法来检查给定的时间图是否时间连通。接着我们考虑时间图设计者可以\emph{自由}选择所有边的可用时刻，并以极小\emph{代价}实现时间连通性的情形；代价为所用可用时刻的总数。我们通过一个简单的多项式时间过程实现了代价关于 $n$ 线性的设计。我们还通过证明任意树代价的下界，表明上述过程在底层图为树时（几乎）最优。然而，在实际中有这样的情况：人们不能自由重新设计时间连通图，而是\emph{给定}一个声称时间连通的时间图设计，并希望在不破坏时间连通性（冗余标签）的前提下通过移除标签使其更具代价效率。我们的主要技术结果是计算冗余标签的最大数量是 APX-hard 的，即除非 $P=NP$，否则不存在 PTAS。从积极的一面，我们展示了在具有随机边可用性的稠密图中，渐近几乎必然存在非常大量的冗余标签。不过，时间设计可能是\emph{极小}的，即不存在冗余标签。我们证明了存在至少带有 $n \log{n}$ 个标签的极小时间设计。