顶点故障下的连通性查询：非最优但实用

我们再次重新审视设计预言机以在顶点故障存在时回答无向图连通性查询的问题。具体而言，给定具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的无向图 $G$ 以及整数 $d_{\star}\ll n$，目标是预处理该图以构建数据结构 $\mathcal{D}$，使得给定顶点集 $F$ 且 $|F|=d\leq d_{\star}$ 时，我们可从 $\mathcal{D}$ 导出预言机，高效回答形如“在 $G\setminus F$ 中 $x$ 是否与 $y$ 连通？”的查询。最近，Long 和 Saranurak（FOCS 2022）提供了该问题的一个在预处理时间、空间占用、更新时间和查询时间上近乎最优的解。然而，他们的解极为复杂，似乎很难被高效实现。此外，它未解决 $d_{\star}$ 为常数时的复杂度。此处，我们提供该问题的一个简单得多的解，仅使用教科书式数据结构。我们的算法是确定性的，预处理时间与空间复杂度为 $O(d_{\star}m\log n)$，更新时间 $O(d^4 \log n)$，查询时间 $O(d)$。这些界与先前最优解相比非常有竞争力，尤其考虑到我们方法的简洁性。事实上，若假设 $d_{\star}$ 为常数（$d_{\star}\geq 4$），则我们的算法提供了一些在某些方面改进了现有最优解的权衡。最后，我们提供的数据结构对 $d_{\star}$ 是灵活的：它可适应增减，其时间与空间开销几乎正比于 $d_{\star}$ 的变化及图的大小。