全对最小割的敏感性预言机

设 $G=(V,E)$ 为一个含 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的无向无权图。我们研究 $G$ 中全对最小割的敏感性预言机问题，定义如下：构建一个紧凑的数据结构，在接收到任意顶点对 $s,t\in V$ 以及任意边的失效（或插入）作为查询时，能高效报告失效（或插入）后 $s$ 与 $t$ 之间的最小割。据我们所知，目前不存在占用 $o(mn)$ 空间且具有非平凡查询时间的数据结构。我们给出如下结果。- 我们的第一个数据结构占用 ${\cal O}(n^2)$ 空间，并保证 ${\cal O}(1)$ 查询时间以报告任意边失效（或插入）后所得 $(s,t)$-最小割的值。此外，更新后定义所得 $(s,t)$-最小割的顶点集可在 ${\cal O}(n)$ 时间内报告，此为最坏情况最优。- 我们的第二个数据结构以牺牲查询时间为代价优化空间。它占用 ${\cal O}(m)$ 空间——这也是 $G$ 所占的空间。查询时间为 ${\cal O}(\min(m,n c_{s,t}))$，其中 $c_{s,t}$ 是 $G$ 中 $s$ 与 $t$ 之间最小割的值。与已知最好的从头计算 $(s,t)$-最小割的确定性算法相比，该查询时间快了 $\Omega(\min(m^{1/3},\sqrt{n}))$ 倍。- 若仅关心某条边的失效（或插入）是否改变 $(s,t)$-最小割的值，我们可以将 ${\cal O}(n^2)$ 空间的数据结构均匀分布于 $n$ 个顶点上。对于任意失效（或插入）边，仅需存储在其端点处的数据结构中即可判断任意 $s,t \in V$ 的 $(s,t)$-最小割值是否改变。