第二最小割的更快算法及打破双边灵敏度二次屏障
数据结构与算法
2025-07-03 v1
摘要
我们研究(s,t)-第二最小容量割，提出以下算法和图论结果。1. Vazirani和Yannakakis[ICALP 1992]设计了第一个计算(s,t)-第二最小容量割的算法，使用O(n^2)次最大(s,t)-流计算。对于带整数权重的有向图，我们显著改进了这一上界，设计了一个几乎确定性地使用O(\sqrt{n})次最大(s,t)-流计算即可计算(s,t)-第二最小容量割的算法。为此，我们在有向加权图中建立了(s,t)-第二最小容量割与全局最小割之间的密切关系。2. 最小+1(s,t)-割近期已被广泛研究[Baswana, Bhanja, 和 Pandey, ICALP 2022]，是第二(s,t)-割的一个特例。(a) 对于有向多图，我们设计了一个算法，一旦给定任意一个最大(s,t)-流，就能在O(m)时间内计算最小+1(s,t)-割（若存在）。(b) 现有存储和刻画所有最小+1(s,t)-割的结构占用O(mn)空间。对于无向多图，我们设计了一个仅占O(m)空间的DAG，用于存储和刻画所有最小+1(s,t)-割。3. 最小+1(s,t)-割的研究常常有助于设计双边灵敏度oracle——一种紧凑的数据结构，用于高效报告插入/故障后的(s,t)-最小割。最近[ Bhanja, ICALP 2025] 证明了对于无向多图，任何(s,t)-割的双边灵敏度oracle在最坏情况下的空间占用必须为{\Omega}(n^2)，无论查询时间如何。对于简单图，我们突破了这一二次屏障，同时实现了非平凡的查询时间。
引用
@article{arxiv.2507.01366,
title = {Faster Algorithm for Second (s,t)-mincut and Breaking Quadratic barrier for Dual Edge Sensitivity for (s,t)-mincut},
author = {Surender Baswana and Koustav Bhanja and Anupam Roy},
journal= {arXiv preprint arXiv:2507.01366},
year = {2025}
}
备注
Accepted in ESA 2025