Steiner 最小割的最优灵敏度预言机

设 $G=(V,E)$ 是一个具有 $n=|V|$ 个顶点的无向加权图，$S\subseteq V$ 是一个 Steiner 集。Steiner 最小割是一个被广泛研究的概念，它提供了对 (s,t)-最小割（当 $|S|=2$ 时）和全局最小割（当 $|S|=n$ 时）的推广。本文中，我们解决了设计一个紧凑数据结构的问题，该结构能够在 $G$ 中任何边失效后有效地报告 Steiner 最小割及其容量；这样的数据结构被称为 Steiner 最小割的 \textit{灵敏度预言机}。在最小割领域，尽管在无权图中已经设计了许多灵敏度预言机，但在加权图中，灵敏度预言机仅存在于 (s,t)-最小割 [Annals of Operations Research 1991, NETWORKS 2019, ICALP 2024]，而这只是 Steiner 最小割的一个特例。这里，我们将此结果推广到任意集合 $S\subseteq V$。1. 灵敏度预言机：假设每条边的容量已知，a. 存在一个 ${\mathcal O}(n)$ 空间的数据结构，能在 ${\mathcal O}(1)$ 时间内报告 Steiner 最小割的容量；b. 存在一个 ${\mathcal O}(n(n-|S|+1))$ 空间的数据结构，能在 $G$ 中任何边失效后，在 ${\mathcal O}(n)$ 时间内报告一个 Steiner 最小割。2. 下界：我们证明，任何在边失效后能报告 Steiner 最小割或其容量的数据结构，在最坏情况下必须占用 $\Omega(n^2)$ 比特的空间，无论 Steiner 集的大小如何。(2) 中的下界表明，(1) 中的假设对于打破 $\Omega(n^2)$ 的空间下界至关重要。对于 $|S|=n-k$（其中 $k\ge 0$ 为任意常数），它仅占用 ${\mathcal O}(n)$ 空间。因此，我们还提出了第一个为全局最小割占用 ${\mathcal O}(n)$ 空间的灵敏度预言机。