子图连通性的更优减量及全动态灵敏度预言机

我们研究减量和全动态设置下的子图连通性灵敏度预言机问题。在全动态设置中，我们预处理一个包含 $n$ 个顶点、$m$ 条边的无向图 $G$，初始时有 $n_{\rm off}$ 个顶点处于停用状态，其余顶点处于激活状态。然后，我们接收一个大小为 $|D| = d \leq d_{\star}$ 的单次更新 $D\subseteq V(G)$，表示状态将被切换的顶点。最后，我们得到一系列查询，每个查询询问两个给定顶点 $u$ 和 $v$ 在激活子图中的连通性。减量设置是初始时没有停用顶点的特例，也被称为顶点失效连通性预言机问题。我们提出了一种更好的确定性顶点失效连通性预言机，其预处理时间为 $\widehat{O}(d_{\star}m)$，空间为 $\widetilde{O}(m)$，更新时间为 $\widetilde{O}(d^{2})$，查询时间为 $O(d)$，将先前近乎最优的预言机 [Long-Saranurak, FOCS 2022] 的更新时间从 $\widehat{O}(d^{2})$ 改进为 $\widetilde{O}(d^{2})$。我们还提出了一种更好的确定性全动态子图连通性灵敏度预言机，其预处理时间为 $\widehat{O}(\min\{m(n_{\rm off} + d_{\star}),n^{\omega}\})$，空间为 $\widetilde{O}(\min\{m(n_{\rm off} + d_{\star}),n^{2}\})$，更新时间为 $\widetilde{O}(d^{2})$，查询时间为 $O(d)$，显著将当前最优技术[Hu-Kosinas-Polak, 2023] 的更新时间从 $\widetilde{O}(d^{4})$ 改进为 $\widetilde{O}(d^{2})$。此外，在流行的细粒度复杂性猜想下，我们的解决方案甚至近乎最优。