次二次时间的次自由图算法：加权距离查询器、递减可达性等

Le 和 Wulff-Nilsen [SODA '24] 近期提出了系统性地研究基于 VC 集系统的非加权 $K_h$-次自由有向图。我们在以下方面扩展了他们的工作：$\bullet$ 我们提出了首个将 VC 集系统应用于实权重次自由有向图的方法，以构建第一个在查询时间为 $O(\log n)$ 的准二次空间精确距离查询器。以前仅适用于非加权和整数权重有向图的工作。$\bullet$ 我们描述了一个统一的系统，用于分析球的 VC 维度以及 Le-Wulff-Nilsen [SODA '24] 基于 Li-Parter [STOC '19] 的 LP 集系统，这是一个基于 pseudodimension 的概念性贡献，既有助于改进对有向图中集系统的理解，也有助于将 LP 集系统在有向图中的界限提高到 $h-1$。$\bullet$ 我们提出了首个将这些集系统应用于动态环境的方法。具体而言，我们构建了总更新时间为准二次、查询时间为常数的递减可达性查询器。在此之前，甚至在平面有向图中，都不知道是否可能构建总更新时间为准二次、查询时间为多对数时间的查询器。$\bullet$ 我们描述了用于非加权有向图的准二次时间算法，包括 (1) 精确距离查询器的构造、(2) 顶点离心率和 Wiener 指数的计算。获得这些结果的主要创新在于使用动态字符串数据结构。