在 $H$-minor 自由图与有界（距离）VC-维图上的直径计算

我们提出将常距离 VC-维的无权图作为许多图类的广泛推广来研究，对这些图类我们可以在真正次二次时间内计算直径。特别地，对任意固定的 $H$，$H$-minor 自由图类的距离 VC-维至多为 $|V(H)|-1$。我们的第一个主要结果是，在距离 VC-维至多为 $d$ 的图上，对任意固定的 $k$，我们可在时间 $\tilde{\cal O}(k\cdot mn^{1-\varepsilon_d})$ 内计算直径或断定其大于 $k$，其中 $\varepsilon_d \in (0;1)$ 仅依赖于 $d$。随后作为我们方法的副产品，我们得到了在所有无处稠密图类上计算常数直径的首个真正次二次时间算法。最后，我们展示如何去除对任何排除固定图 $H$ 作为 minor 的图类在 $k$ 上的依赖。更一般地，我们的技术适用于任何具有常距离 VC-维和多项式展开的图。因此，对所有此类图都获得了计算其直径的真正次二次时间算法。我们的方法基于 Chazelle 和 Welzl 的工作，他们证明了对每个常 VC-维超图存在具有强次线性刺穿数的生成路径。我们展示了如何通过将刺穿数问题已知最好的近似算法与对 $\varepsilon$-nets、区域分解及其他划分技术的巧妙使用相结合，来高效计算此类路径。