面向多顶点失效的近似距离预言机

给定具有$n$个顶点和$m$条边、权值在$[1,W]$中的无向图$G=(V,E)$，我们构造顶点敏感距离预言机（VSDO），即一种对图进行预处理并回答如下查询的数据结构：给定源顶点$u$、目标顶点$v$以及一批$d$个失效顶点$D$，输出$G-D$（即移除$D$中顶点的图）中$u$与$v$之间的距离（的近似）。若始终满足$\delta_{G-D}(u,v)\le\tilde{\delta}(u,v)\le\alpha\cdot\delta_{G-D}(u,v)$，其中$\delta_{G-D}(u,v)$为$G-D$中$u$与$v$的实际距离，$\tilde{\delta}(u,v)$为预言机报告的距离，则称预言机具有拉伸因子$\alpha$。本文针对任意数量的失效$d$构造了高效的VSDO。对任意常数$c\geq 1$，我们提出两种预言机：$\bullet$ 第一种预言机大小为$n^{2+1/c}(\log n/\epsilon)^{O(d)}\cdot \log W$，查询时间为${\rm poly}(\log n,d^c,\log\log W,\epsilon^{-1})$，对任意常数$\epsilon>0$具有拉伸因子$1+\epsilon$。$\bullet$ 第二种预言机大小为$n^{2+1/c}{\rm poly}(\log (nW),d)$，查询时间为${\rm poly}(\log n,d^c,\log\log W)$，拉伸因子为${\rm poly}(\log n,d)$。这两种预言机均可在与其空间复杂度多项式成比例的时间内完成预处理。这些结果是通用无向图中针对任意常数个顶点失效、具有多对数查询时间的首批近似距离预言机。此前存在$(1+\epsilon)$-近似的$d$边敏感距离预言机[Chechik et al. 2017]，在$d$条边失效时回答距离查询，其大小为$O(n^2(\log n/\epsilon)^d\cdot d\log W)$，查询时间为${\rm poly}(\log n, d, \log\log W)$。