具有高敏感性与低伸展的紧凑距离预言机

伸展 $\sigma \geq 1$ 的 $f$-边容错距离敏感预言机（$f$-DSO）是一种对输入图 $G$ 进行预处理的数据结构。当以三元组 $(s,t,F)$ 查询时，其中 $s, t \in V$ 且 $F \subseteq E$ 包含 $G$ 的至多 $f$ 条边，该预言机返回图 $G-F$ 中 $s$ 与 $t$ 之间距离 $d_{G-F}(s,t)$ 的估计 $\widehat{d}_{G-F}(s,t)$，满足 $d_{G-F}(s,t) \leq \widehat{d}_{G-F}(s,t) \leq \sigma d_{G-F}(s,t)$。对于任意正整数 $k \ge 2$ 与任意 $0 < \alpha < 1$，我们提出一种敏感性 $f = o(\log n/\log\log n)$、伸展 $2k-1$、空间 $O(n^{1+\frac{1}{k}+\alpha+o(1)})$ 且查询时间 $\widetilde{O}(n^{1+\frac{1}{k} - \frac{\alpha}{k(f+1)}})$ 的 $f$-DSO。在我们工作之前，仅有三种已知的亚二次空间 $f$-DSO。第一种由 Chechik 等人 [Algorithmica 2012] 提出，其伸展为 $(8k-2)(f+1)$，依赖于 $f$。另一种方法是存储 $G$ 的 $f$-边容错 $(2k-1)$-spanner。瓶颈在于此类 spanner 的尺寸导致的较大查询时间，在 Erd\H{o}s 围长猜想下其为 $\Omega(n^{1+1/k})$。Bil\`o 等人 [STOC 2023] 给出了一种伸展 $3+\varepsilon$、查询时间 $O(n^{\alpha})$ 但空间 $O(n^{2-\frac{\alpha}{f+1}})$ 的解，对于大敏感性逼近二次壁垒。在亚二次空间领域，我们的 $f$-DSO 是首个同时保证大敏感性、低伸展与非平凡查询时间的。为获得结果，我们使用了 Thorup 与 Zwick 的近似距离预言机 [JACM 2005]，以及 Weimann 与 Yuster 的 $f$-DSO 的去随机化 [TALG 2013]，后者近期由 Karthik 与 Parter 给出 [SODA 2021]。