通用单边容错精确距离预言机

给定一个无向无权图 $G$ 和大小为 $|S| = \sigma$ 的源点集 $S$，我们希望构建一个数据结构来处理如下查询 {\sc Q}$(s,t,e):$ 找到从 $s$ 到 $t$ 避开边 $e$ 的最短距离，其中 $s \in S$ 且 $t \in V$。当 $\sigma=n$ 时，Demetrescu、Thorup、Chowdhury 和 Ramachandran（SIAM Journal of Computing, 2008）设计了一种具有 $\tilde O(n^2)$ 空间（$\tilde O(\cdot)$ 隐藏 poly $\log n$ 因子）和 $O(1)$ 查询时间的算法。一个自然的开放问题是将该结果推广到任意数量的源点。最近，Bil{\`o} 等人（STACS 2018）针对上述问题描述了一种大小为 $\tilde O(\sigma^{1/2}n^{3/2})$、查询时间为 $O(\sqrt{n\sigma})$ 的数据结构。我们改进了他们的结果，设计了一种大小为 $\tilde O(\sigma^{1/2} n^{3/2})$ 且能以 $\tilde O(1)$ 时间回答查询的数据结构。在一个相关的容错子图问题中，Parter 和 Peleg（ESA 2013）表明，若以顶点 $t$ 结尾的{\em 替换}路径的绕行路径互不相交，则此类路径的数量为 $O(\sqrt{n\sigma})$。这最终给出了他们问题的一个 $O( n \sqrt{n \sigma}) = O(\sigma^{1/2}n^{3/2})$ 的界。{\em 绕行路径的互不相交性}是上述结果中非常关键的性质。我们展示了一类替换路径子集的类似结果，这些路径\textbf{可能不}互不相交。该结果是本文的核心，并可能具有独立意义。