近最优确定性单源距离灵敏度预言机

给定带源点顶点$s$的图,单源替换路径(SSRP)问题是为每个顶点$t$和边$e$计算从$s$到$t$避开$e$的最短路径长度$d(s,t,e)$。单源距离灵敏度预言机(单源DSO)是一种数据结构,通过返回距离$d(s,t,e)$来应答形如$(t,e)$的查询。我们展示了如何确定性地将$n$顶点、$m$条边的图上SSRP问题的输出(整数边权范围在$[1,M]$)压缩为大小为$O(M^{1/2}n^{3/2})$、查询时间$\widetilde{O}(1)$的单源DSO。该空间需求是最优的(直至字长),且我们的技术也能处理顶点失效。Chechik和Cohen[SODA 2019]提出了针对无向无权图的组合式随机化$\widetilde{O}(m\sqrt{n}+n^2)$时间SSRP算法。Grandoni和Vassilevska Williams[FOCS 2012, TALG 2020]给出了针对边权范围在$[1,M]$的图(其中$\omega<2.373$为矩阵乘法指数)的代数式随机化$\widetilde{O}(Mn^\omega)$时间SSRP算法。我们在相同渐近运行时间内对无向图去随机化了这两种算法,并应用我们的压缩获得确定性单源DSO。该$\widetilde{O}(m\sqrt{n}+n^2)$和$\widetilde{O}(Mn^\omega)$预处理时间相较先前$o(n^2)$空间预言机是多项式级改进。在具有$m=O(n^{5/4-\varepsilon}/M^{7/4})$条边的稀疏图上,对任意常数$\varepsilon > 0$,我们将预处理降为随机化$\widetilde{O}(M^{7/8}m^{1/2}n^{11/8})=O(n^{2-\varepsilon/2})$时间。这是构建稀疏图上单源DSO的首个真正次二次时间算法。