通过捷径与矩阵乘法加速多源有向可达性计算

给定一个具有 $n$ 个顶点、$m$ 条边的有向图 $G = (V,E)$ 和一个指定源点集合 $S \subseteq V$，其中 $|S| = n^{\sigma}$（对于某个 $0 < \sigma \le 1$），$S \times V$ 有向可达性问题要求为每个 $s \in S$ 计算从 $s$ 出发在 $G$ 中可达的所有顶点集合。已知的朴素算法要么从每个源点单独运行 BFS/DFS，因此需要 $O(m \cdot n^{\sigma})$ 时间，要么在 $\tilde O(n^{\omega})$ 时间内计算 $G$ 的传递闭包，其中 $\omega < 2.371552\ldots$ 是矩阵乘法指数。因此，对于边数 $m = \Theta(n^{\mu})$ 的图，该问题当前最先进的界是 $\tilde O(n^{\min \{\mu + \sigma, \omega \}})$。我们的第一个贡献是针对此问题的一个运行时间为 $\tilde O(n^{1 + \tiny{\frac{2}{3}} \omega(\sigma)})$ 的算法，其中 $\omega(\sigma)$ 是矩形矩阵乘法指数。利用当前对 $\omega(\sigma)$ 的最先进估计，对于 $\tilde \sigma \le \sigma \le 0.53$，我们的指数优于 $\min \{2 + \sigma, \omega \}$，其中 $1/3 < \tilde \sigma < 0.3336$ 是一个通用常数。我们的第二个贡献是针对 $S \times V$ 有向可达性问题的一系列算法 $\mathcal A_0, \mathcal A_1, \mathcal A_2, \ldots$。我们认为，在我们引入的某个假设下，对于每个 $\tilde \sigma \le \sigma < 1$，都存在一个足够大的索引 $k = k(\sigma)$，使得 $\mathcal A_k$ 在最稠密情况 $\mu =2$ 下，针对 $|S| = n^{\sigma}$ 的 $S \times V$ 有向可达性问题，改进了当前最先进的界。我们证明，要证实这一假设，只需设计一个算法，使其计算矩形最大-最小矩阵乘积的效率大致与普通 $(+, \cdot)$ 矩阵乘积相当。我们的算法大量利用了 Kogan 和 Parter 最近关于有向捷径的构造。