广播 CONGEST 模型中的可达性与最短路径

本文研究广播 CONGEST 模型中有向无权图的单源可达性问题与单源最短路径问题的时间复杂度。我们关注底层网络直径 $D$ 为常数的情形。我们证明，对于 $D = 1$ 的情形，存在一个非常简单的算法，仅需 $1$（！）轮即可解决可达性问题，这颇为出人意料。相比之下，对于 $D = 2$ 的网络，我们证明该问题的任何分布式算法（可为随机化）都需要 $\Omega(\sqrt{n/ \log{n}}\,)$ 轮。因此，我们的结果（至多相差一个小的多对数因子）完全确定了宽直径范围内单源可达性问题的复杂度。此外，我们证明当 $D = 1$ 时，仅需 $2$ 轮甚至可对（有向无权图的）全点对最短路径问题获得 $3$-近似。我们还证明了针对无权有向图单源最短路径问题的更强下界 $\Omega(\sqrt{n}\,)$，该下界在底层网络直径为 $2$ 时依然成立。据我们所知，这是该问题首个达到 $\Omega(\sqrt{n}\,)$ 的下界。