近乎线性工作量与平方根深度的并行可达性

在本文中，我们提供一种并行算法，给定任意 $n$ 节点 $m$ 边有向图与源顶点 $s$，以 $\tilde{O}(m)$ 工作量与 $n^{1/2 + o(1)}$ 深度（关于 $n$ 高概率）计算从 $s$ 可达的所有顶点。该算法还计算一组 $\tilde{O}(n)$ 边，将其加入图后保持可达性并确保所得图的直径至多为 $n^{1/2 + o(1)}$。我们的结果改进了先前已知的由 Fineman 给出的近乎线性工作量可达性算法，其深度为 $\tilde{O}(n^{2/3})$。此外，我们展示如何利用该算法在 CONGEST 模型中实现改进的单源可达性分布式算法。具体而言，我们提供一种分布式算法，给定无向跳直径 $D$ 的 $n$ 节点有向图，在 CONGEST 模型中以 $\tilde{O}(n^{1/2} + n^{1/3 + o(1)} D^{2/3})$ 轮通信（关于 $n$ 高概率）解决单源可达性问题。当 $D = O(n^{1/4 - \epsilon})$（任意常数 $\epsilon > 0$）时，我们的算法近乎最优，并且是针对直径 $\Omega(n^\delta)$（任意常数 $\delta$）的一般图的首个近乎最优算法。