广播Congest Clique模型中的距离与最短路径近似

我们研究分布式计算中CONGEST CLIQUE模型的广播版本。在该模型中，每轮中，大小为$n$的网络中的任何节点可以向其他每个节点发送相同消息（即广播消息），消息大小有限。Nanongkai在[STOC'14]中提出了一种随机化$(2+o(1))$-近似算法，用于在加权图上以$\tilde{O}(\sqrt{n})$时间计算所有点对最短路径（APSP），其中我们约定$\tilde{\Omega}(f(n))$本质上是$\Omega(f(n)/\text{polylog}f(n))$，$\tilde{O}(f(n))$本质上是$O(f(n)\text{polylog}f(n))$。我们通过证明任何随机化$(2-o(1))$-近似的APSP和$(2-o(1))$-近似的图直径在最坏情况下需要$\tilde\Omega(n)$时间来补充这一结果。这表明在近似因子上的微小改进需要显著更多的时间。此外，这一下界意味着即使计算$(2-o(1))$-近似的所有点对最短路径也是广播版本CONGEST CLIQUE模型中最难的图问题之一，并与最近在单播版本CONGEST CLIQUE模型中运行时间为$O(n^{0.15715})$的$(1+o(1))$-近似APSP形成对比。在积极方面，我们提供了Nanongkai的$(2+o(1))$-近似APSP算法的确定性版本。为此，我们提出了一种快速确定性构造小击中集的方法。我们还展示了如何用Lenzen和Peleg在PODC'13上为CONGEST模型设计的确定性源检测算法替换Nanongkai算法中的另一个随机化部分。