分布式精确加权全对最短路径的 $\tilde O(n^{5/4})$ 轮算法

我们研究在分布式网络（CONGEST 模型）中计算{\em 全对最短路径}（APSP）。其目标是使（加权）网络中的每个节点通过通信获知与其他所有节点的距离。该问题存在 $(1+o(1))$-近似的 $\tilde O(n)$ 时间算法~\cite{LenzenP-podc15,Nanongkai-STOC14}，并且有相应的 $\tilde \Omega(n)$ 时间下界~\cite{Nanongkai-STOC14,LenzenP_stoc13,FrischknechtHW12}与之匹配\footnote{$\tilde \Theta$、$\tilde O$ 和 $\tilde \Omega$ 隐藏了对数多因子。注意，即使在无权情形以及具有多项式近似比率的加权情形下，该下界依然成立。}。对于精确计算，此前尚无已知的 $\omega(n)$ 下界或 $o(m)$ 上界。本文提出了一种 $\tilde O(n^{5/4})$ 时间的随机（Las Vegas）算法用于精确加权 APSP；当网络并非极度稀疏时，这相较于朴素的 $O(m)$ 时间算法提供了首次改进。我们的结果同样适用于边权为{\em 非对称}的情形（即通信为双向的有向情形）。我们的技术还为{\em $k$-源最短路径}问题产生了一种 $\tilde O(n^{3/4}k^{1/2}+n)$ 时间的算法，其中我们希望每个节点都获知来自 $k$ 个源的距离；当 $k=\tilde \omega(n^{1/4})$ 时，这改进了 Elkin 最近的界限~\cite{Elkin-STOC17}。