全点对最短路径小权值变体的算法、归约与等价性

无向图中具有小整数权值的 APSP（全点对最短路径）[Seidel'95, Galil and Margalit'97] 拥有 $\tilde{O}(n^\omega)$ 时间算法，其中 $\omega<2.373$ 为矩阵乘法指数。然而，具有小权值的有向图 APSP 的运行时间则慢得多，即便 $\omega=2$ 也会达到 $\Omega(n^{2.5})$ [Zwick'02]。为理解这一 $n^{2.5}$ 瓶颈，我们围绕有向无权 APSP 构建了一张归约网络。我们证明它与计算具有整数元素的矩形 Min-Plus 乘积在细粒度上等价；矩阵的维数与元素大小依赖于 $\omega$ 的取值。由此，我们建立了有向无权图 APSP、具有小 $(\tilde{O}(1))$ 整数权值的有向图 APSP、具有小权值的 DAG 中全点对最长路径、具有加性误差 $c$ 的有向图近似 APSP（其中 $c\le \tilde{O}(1)$）以及若干其他图问题之间的等价性。我们还提供了从有向无权 APSP 到无向图 $\{0,1\}$ 权值下全点对最短最轻路径（APSLP）以及有向无权图中 $\#_{\text{mod}\ c}$APSP（计算模 $c$ 计数）的细粒度归约。我们以新算法补充了上述困难性结果。我们改进了已知的有向图小整数权值 APSLP 算法，以及有向无权图中具有亚线性加性误差的近似 APSP 算法。当视为向 Min-Plus 乘积的归约时，我们的亚线性加性误差近似 APSP 算法是最优的。我们还给出了无向图中 #APSP 若干变体的新算法，以及针对原始无向图 #APSP 问题的近最优 $\tilde{O}(n^3)$ 时间算法。我们的技术也给出了无向图小整数权值原始 APSP 问题的一个更简洁的替代方案。