无缩放逼近 APSP：近似最小加与精确最小最大之等价性

Zwick 的全体对最短路径（APSP）问题的 $(1+\varepsilon)$-逼近算法运行时间为 $\widetilde{O}(\frac{n^\omega}{\varepsilon} \log{W})$，其中 $\omega \le 2.373$ 为矩阵乘法指数，$W$ 表示最大权值。这可用于在相同时间界内逼近若干图特征，包括直径、半径、中位数、最小权三角形与最小权圈。由于 Zwick 算法使用缩放技术，其运行时间中含因子 $\log W$。本文研究 APSP 及相关问题是否存在避免缩放技术的逼近方案。即算术运算次数应独立于 $W$；这称为强多项式。我们的主要结果如下。— 我们在强多项式时间 $O(\frac{n^\omega}{\varepsilon} \text{polylog}(\frac{n}{\varepsilon}))$ 内为无向图上的 APSP 以及有向或无向图上直径、半径、中位数、最小权三角形与最小权圈等图特征设计了逼近方案。— 对于有向图上的 APSP，我们在强多项式时间 $O(n^{\frac{\omega + 3}{2}} \varepsilon^{-1} \text{polylog}(\frac{n}{\varepsilon}))$ 内设计了一个逼近方案。这显著快于最佳精确算法。— 我们解释了为何有向图 APSP 的逼近方案指数差于 $\omega$：对我们指数 $\frac{\omega + 3}{2}$ 的任何改进都将改进已知的 Min-Max 乘积最佳算法。事实上，我们证明逼近有向 APSP 与精确计算 Min-Max 乘积是等价的。