加权无向图中 APSP 的加性、近加性与乘性近似：权衡与算法

我们提出了一种针对稠密加权图的 $+2\sum_{i=1}^{k+1}{W_i}$-APASP 算法，运行时间为 $\tilde O\left(n^{2+\frac{1}{3k+2}}\right)$，其中 $W_{i}$ 是最短路径上第 $i$ 条最重边的权重。Dor、Halperin 和 Zwick [FOCS'96, SICOMP'00] 针对相应的无权图有两种 $+2\cdot\left( k+1\right)$-APASP 算法：用于稀疏图的 $\tilde O\left(n^{2-\frac{1}{k+2}}m^{\frac{1}{k+2}}\right)$ 运行时间，以及用于稠密图的 $\tilde O\left(n^{2+\frac{1}{3k+2}}\right)$ 运行时间。Cohen 和 Zwick [SODA'97, JALG'01] 将稀疏变体适配到加权图：在相同运行时间下的 $+2\sum_{i=1}^{k+1}{W_i}$-APASP 算法。我们展示了一种针对稠密加权图的算法。对于近加性 APASP，我们提出了一种 $\left(1+\varepsilon,\min{\left\{2W_1,4W_{2}\right\}}\right)$-APASP 算法，运行时间为 $\tilde O\left(\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{O\left(1\right)}\cdot n^{2.15135313}\cdot\log W\right)$。这改进了 Saha 和 Ye [SODA'24] 的 $\left(1+\varepsilon,2W_1\right)$-APASP。对于乘性 APASP，我们展示了一个 $\left(\frac{3\ell +4}{\ell + 2}+\varepsilon\right)$-APASP 算法的框架，减少了 Akav 和 Roditty [ESA'21] 针对稠密图的运行时间，并推广了 Dory 等人 [SODA'24] 的 $\left(2+\varepsilon\right)$-APASP 算法。我们的基础情形是运行时间为 $\tilde O\left(\left(\frac{1}{\varepsilon}\right)^{O\left(1\right)}\cdot n^{2.15135313}\cdot \log W\right)$ 的 $\left(\frac{7}{3}+\varepsilon\right)$-APASP，改进了 Baswana 和 Kavitha [FOCS'06, SICOMP'10] 针对稠密图的 $\frac{7}{3}$-APASP 算法。最后，我们通过允许一个加性项（例如在 $\tilde O\left(n^{2+\frac{1}{3k+2}}\right)$ 运行时间下的 $\left(\frac{6k+3}{3k+2},\sum_{i=1}^{k+1}W_{i}\right)$-APASP），“绕过”了 Dor、Halperin 和 Zwick 针对满足 $\alpha < 2$ 的 $\alpha$-APASP 的 $\tilde \Omega \left(n^\omega\right)$ 条件下界。