改进的加权加法 spanner

图 spanner 与 emulator 是近似保持原图距离的稀疏结构。尽管关于加法 spanner 已有大量工作，但迄今为止对加权图的关注很少。直到最近 [ABSKS20] 才将未加权图的经典 +2（ respectively，+4）spanner（大小为 $O(n^{3/2})$（resp., $O(n^{7/5})$））扩展到加权情形，其加性误差为 $+2W$（resp., $+4W$）。这意味着对每一对 $u,v$，加性拉伸至多为 $+2W_{u,v}$，其中 $W_{u,v}$ 是最短 $u-v$ 路径上的最大边权。此外，[ABSKS20] 给出了一个算法，得到大小为 $O(n^{4/3})$ 的 $+8W_{max}$ spanner，这里 $W_{max}$ 是整个图的最大边权。在本文中，我们改进了后一结果，设计了一个简单确定性算法，得到大小为 $O(n^{4/3})$ 的加权图 $+(6+\varepsilon)W$ spanner（对任意常数 $\varepsilon>0$），从而几乎匹配未加权图大小为 $O(n^{4/3})$ 的经典 +6 spanner。此外，我们展示了一个大小为 $O(n\cdot\sqrt{|S|})$ 的 $+(2+\varepsilon)W$ 子集 spanner，改进了 [ABSKS20] 的 $+4W_{max}$ 结果（具有相同大小）。我们还展示了一个大小为 $\tilde{O}(n^{4/3})$ 的 $+4W$ emulator 的简单随机算法。另外，我们表明该技术适用于具有线性大小的极稀疏加法 spanner。对于加权图，我们使用我们简单确定性算法的一个变体，得到线性大小 $+\tilde{O}(\sqrt{n}\cdot W)$ spanner，并且获得了大小与拉伸之间的权衡。最后，推广 [DHZ00] 针对未加权图的技术，我们设计了一个高效随机算法，在 $\tilde{O}(n^2)$ 时间内生成大小为 $\tilde{O}(n^{3/2})$ 的加权图 $+2W$ spanner。