带局部最重边伸缩的加权仿真器

我们引入了一族广义 $\left( 2\cdot \left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor-1, 2\cdot \left\lceil \frac{k}{2} \right\rceil \cdot W_{1} +\max\left\{0,2\cdot\left(\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil-2\right)\right\}\cdot W_{2} \right)$-仿真器，边数为 $\tilde O \left(n^{1+\frac{1}{k}}\right)$，其中 $W_{i}$ 为两个顶点之间最短路径上第 $i$ 重的边。我们的构造推广了 Elkin、Gitlitz 和 Neiman [DISC'21 和 DICO'23] 的 $+2W_{1}$-稀疏图和 $+4W_{1}$-仿真器。当 $k$ 为偶数时，这些是 $\left(k-1,k\cdot W_{1} + \left(k-4\right)\cdot W_{2}\right)$-仿真器；当 $k$ 为奇数时，这些是 $\left(k-2,\left(k+1\right)\cdot W_{1} + \left(k-3\right) \cdot W_{2}\right)$-仿真器。我们的框架不仅扩展了对加权图的已知构造，还在特定距离范围内对无权图的仿真器和稀疏图实现了改进的伸缩。具体而言，对于所有距离为 $\delta \leq O\left(3^{k^{2}}\right)$ 的顶点对，我们的构造在 $k$ 的平方中的常数因子上改进了 Thorup 和 Zwick [SODA'06] 的经典性加 $\tilde O\left(\delta^{1-\frac{1}{k}}\right)$-仿真器。