超稀疏近加性仿真器

近加性（又称 $(1+\epsilon,\beta)$-)仿真器和 spanner 是基础的图算法构造，在分布式、流式和动态环境中计算近似最短路径及相关问题有众多应用。已知的近加性仿真器构造允许在其稀疏性（即边数）和加性拉伸 $\beta$ 之间进行权衡。具体而言，对于任意参数对 $\epsilon >0$、$\kappa=1,2,\dots$，可以拥有一个具有 $O(n^{1+1/\kappa})$ 条边的 $(1+\epsilon,\beta)$-仿真器，其中 $\beta = \left(\frac{\log \kappa}{\epsilon}\right)^{\log \kappa}$。在最稀疏时，这些仿真器使用 $c\cdot n$ 条边，其中某个常数 $c\geq 2$。我们收紧了该界，并表明实际上恰好 $n^{1+1/\kappa}$ 条边已足够。特别地，我们的仿真器可以是\emph{超稀疏}的，即我们可以拥有具有 $n+o(n)$ 条边和 $\beta = \left(\frac{\log {\log n}}{\epsilon }\right)^{{\log {\log n}}(1+o(1))}$ 的仿真器。我们还设计了 CONGEST 模型中的分布式确定性算法，以低多项式时间（即 $O(n^\rho)$ 时间，对任意小常数参数 $\rho >0$）构建这些仿真器。最后，我们还改进了 PODC'19 论文 [ElkinM19] 中提出的 $(1+\epsilon,\beta)$-spanner 的分布式确定性 \congest 模型构造的最先进水平。具体而言，[ElkinM19] 的 spanner 具有 $O(\beta\cdot n^{1+1/\kappa})$ 条边，即最稀疏时使用 $O\left(\frac{\log {\log n}}{\epsilon }\right)^{{\log {\log n}}}\cdot n$ 条边。在本文中，我们设计了高效的分布式确定性 CONGEST 模型算法，为 $\kappa = O\left(\frac{\log n}{\log ^{(3)}n}\right)$ 构建具有 $O(n^{1+1/\kappa})$ 条边的此类 spanner。在最稀疏时，这些 spanner 仅使用 $O(n\cdot {\log {\log n}})$ 条边。