近加性Spanner与近精确Hopset：统一视角

给定一棵{\em 非加权}无向图$G = (V,E)$，以及一对参数$\epsilon > 0$、$\beta = 1,2,\ldots$，图$G$的子图$G' =(V,H)$、$H \subseteq E$是$G$的一个{\em $(1+\epsilon,\beta)$-spanner}(又称{\em 近加性spanner})，如果对任意$u,v \in V$，$$d_{G'}(u,v) \le (1+\epsilon)d_G(u,v) + \beta~.$$ 文献\cite{EP01}证明对上述任意$n$顶点图$G$，以及任意$\epsilon > 0$和$\kappa = 1,2,\ldots$，存在具有$O_{\epsilon,\kappa}(n^{1+1/\kappa})$条边的$(1+\epsilon,\beta)$-spanner $G'$，其中$$\beta = \beta_{EP} = \left({{\log \kappa} \over \epsilon}\right)^{\log \kappa - 2}~.$$ 该界限仍是最先进的，且其对$\epsilon$的依赖(对于小$\kappa$情形)在\cite{ABP18}中被证明是紧的。给定一棵{\em 加权}无向图$G = (V,E,\omega)$，以及一对参数$\epsilon > 0$、$\beta = 1,2,\ldots$，图$G'= (V,H,\omega')$是$G$的一个{\em $(1+\epsilon,\beta)$-hopset}(又称{\em 近精确hopset})，如果对任意$u,v \in V$，$$d_G(u,v) \le d_{G\cup G'}^{(\beta)}(u,v) \le (1+\epsilon)d_G(u,v)~,$$ 其中$d_{G\cup G'}^{(\beta)}(u,v)$表示并集图$G \cup G'$中$u$与$v$之间的$\beta$-(跳)-有界距离。文献\cite{EN16}证明对任意上述$n$顶点图$G$以及$\epsilon$和$\kappa$，存在具有$\tilde{O}(n^{1+1/\kappa})$条边的$(1+\epsilon,\beta)$-hopset，其中$\beta = \beta_{EP}$。文献\cite{EP01}与\cite{EN16}的这两个结果不仅惊人地相似，其证明技术也同样如此。此外，Thorup-Zwick后来对近加性spanner的构造\cite{TZ06}在\cite{EN19,HP17}中也被证明可提供具有类似(于\cite{TZ06})性质的hopset。在本综述中，我们探究这一引人入胜的现象，勾勒用于这些结果的基本证明技术，并强调开放问题。