近最优递减跳集及其的应用

给定带权无向图 $G=(V,E,w)$,跳集 $H$ 具有跳界 $\beta$ 与伸展度 $(1+\epsilon)$,是指对任意节点对 $u, v \in V$,在 $G \cup H$ 中存在一条至多 $\beta$ 跳的路径,其长度与 $G$ 中 $u$ 和 $v$ 间距离相差在 $(1+\epsilon)$ 倍以内。我们展示了首个高效的递减算法,用于维护具有多对数跳界的跳集。我们算法的更新时间在最坏多对数因子内匹配已知最优静态算法。此前所有递减跳集构造的跳界均为超多对数(但次多项式)的 $2^{\log^{\Omega(1)} n}$ [Bernstein, FOCS'09; HKN, FOCS'14; Chechik, FOCS'18]。通过应用我们的递减跳集构造,我们在若干距离问题上获得了改进或近最优界。最重要的是,我们展示了如何递减维护 $(2k-1)(1+\epsilon)$-近似全点对最短路径(对任意常数 $k \geq 2$),其摊还更新时间为 $\tilde{O}(n^{1/k})$,查询时间为 $O(k)$。这在常数查询时间体制下(以多项式因子)改进了此前已知最优递减算法的更新时间。此外,它改进了 [Chechik, FOCS'18] 的结果,后者查询时间为 $O(\log \log(nW))$($W$ 为纵横比),摊还更新时间为 $n^{1/k}\cdot(\frac{1}{\epsilon})^{\tilde{O}(\sqrt{\log n})}$。对于稀疏图,我们的构造几乎匹配已知最优静态运行时间/查询时间权衡。我们还获得了维护近似多源最短路径与距离草图的近最优界,并得到了近似单源最短路径的改进界。我们的算法是随机化的,所述界在高概率下对抗盲敌手成立。