民间采样对精确跳集是最优的：确认 $\sqrt{n}$ 壁垒

对于图 $G$，$D$-直径缩减精确跳集是一小组附加边 $H$，将其加入 $G$ 后保持图度量，但保证所有节点对在 $G \cup H$ 中使用至多 $D$ 条边的最短路径。快捷集是可达性上的类似概念。由于其在并行、分布式、动态与流图算法中的应用，这些对象自 90 年代初就被研究。在其历史大部分时间里，针对这两类对象的最先进构造是一种简单的民间算法，基于随机采样节点以命中图中的长路径。然而，Kogan 与 Parter [SODA '22] 以及 Bernstein 与 Wein [SODA '23] 近期的突破终于改进了民间直径界 $\widetilde{O}(n^{1/2})$（针对快捷集与 $(1+\epsilon)$-近似跳集）。对于这两类对象，现已知道可使用 $O(n)$ 跳边将直径缩减至 $\widetilde{O}(n^{1/3})$。民间采样唯一未被改进的设置是针对精确跳集。这些改进能否延续？我们否定地解决了该问题，通过构造图使得任何 $O(n)$ 条边的精确跳集具有直径 $\widetilde{\Omega}(n^{1/2})$。这改进了 Kogan 与 Parter [FOCS '22] 先前的下界 $\widetilde{\Omega}(n^{1/3})$。利用类似思想，我们还多项式级改进了当前快捷集的下界，构造出图使得任何 $O(n)$ 条边的快捷集将直径缩减至 $\widetilde{\Omega}(n^{1/4})$。这改进了 Huang 与 Pettie [SIAM J. Disc. Math. '18] 先前的下界 $\Omega(n^{1/6})$。我们还扩展我们的构造以提供针对其他 $p$ 值的 $O(p)$ 规模精确跳集与快捷集的下界；特别地，我们表明民间采样在 $p \in [1, n^2]$ 的整个范围内对精确跳集是近最优的。