缩小有向跳集与捷径集之间的差距

对于具有 $n$ 个顶点的有向图 $G = (V,E)$，一个 $\beta$-\emph{捷径集} $H$ 是一组附加边 $H \subseteq V \times V$，使得 $G \cup H$ 与 $G$ 具有相同的传递闭包，且对每对 $u,v \in V$，在 $G \cup H$ 中存在一条至多 $\beta$ 条边的 $uv$-路径。捷径集对距离的自然推广是 $(\beta,\epsilon)$-\emph{跳集} $H \subseteq V \times V$，其要求为 $H$ 与 $G \cup H$ 具有相同的最短路距离，且对每对 $u,v \in V$，在 $G \cup H$ 中存在一条具有至多 $\beta$ 条边的 $(1+\epsilon)$-近似最短路。关于捷径集/跳集的大小与 $\beta$ 值之间权衡的文献十分丰富。我们强调该权衡上最自然的一点：使得对任意图 $G$，存在具有 $O(n)$ 条边的 $\beta$-捷径集（或 $(\beta,\epsilon)$-跳集）的最小 $\beta$ 值是多少？这不仅本身是一个自然的结构性问题，而且捷径集/跳集构成了许多用于可达性/最短路的分布式、并行和动态算法的核心。直到最近，已知最佳上界还是一个民间构造，显示 $\beta = O(n^{1/2})$，但在一项突破性结果中 Kogan 和 Parter [SODA 2022] 将其改进为捷径集 $\beta = \tilde{O}(n^{1/3})$、跳集 $\tilde{O}(n^{2/5})$。我们的结果是缩小捷径集与跳集之间的差距。即，我们证明对任意图 $G$ 和任意固定 $\epsilon$，存在一个具有 $O(n)$ 条边的 $(\tilde{O}(n^{1/3}),\epsilon)$ 跳集。更一般地，我们实现了跳集大小与 $\beta$ 之间的平滑权衡，其精确匹配 Kogan 和 Parter 针对捷径集的权衡（至多相差多对数因子）。利用 Kogan 和 Parter 非常近期的黑盒归约，我们的新跳集意味着对近似距离保持器的改进界。