新型缩径捷径集与有向跳集：突破$\sqrt{n}$壁垒

对于$n$个顶点的有向图$G=(V,E)$，捷径集（shortcut set）是从$G$的传递闭包中取出的边的小子集$H$，将其加入$G$后可保证$G \cup H$的直径很小。由Thorup于1993年引入的捷径集在算法设计中有广泛应用，尤其在并行、分布式及有向图动态计算场景中。该领域一个经典结果表明，每个$n$顶点有向图都允许一个线性大小的捷径集（即$O(n)$条边）将直径降至$\widetilde{O}(\sqrt{n})$。尽管多年来研究广泛，能否用$\widetilde{O}(n)$条捷径边将直径降至$o(\sqrt{n})$这一问题始终未解。我们给出了该问题首个改进的“直径-稀疏度”权衡，打破了$\sqrt{n}$直径壁垒。具体而言，我们给出一个$O(n^{\omega})$时间的随机算法，用于计算线性捷径集，将有向图直径降至$\widetilde{O}(n^{1/3})$。这缩小了与[Huang and Pettie, SWAT'18]当前直径下界$\Omega(n^{1/6})$的差距。此外，我们证明直径为$\widetilde{O}(n^{1/2})$实际上可用$O(n^{3/4})$条（亚线性）捷径边实现。形式上，令$S(n,D)$为将任意$n$顶点有向图直径降至至多$D$所需捷径集大小的上界，我们的算法给出：$$S(n,D)=\begin{cases} \widetilde{O}(n^2/D^3), & \text{for~} D\leq n^{1/3},\ \widetilde{O}((n/D)^{3/2}), & \text{for~} D> n^{1/3}~. \end{cases}$$我们还扩展了算法，为$n$顶点加权有向图提供改进的$(\beta,\epsilon)$跳集（hopset）。