更简洁且更优的捷径集下界

我们为著名的捷径集问题提供了多种下界：通过从图的传递闭包中添加$O(n)$或$O(m)$条捷径，能在多大程度上减小具有$n$个顶点和$m$条边的有向图的直径。我们的结果基于对上述问题的$O(n)$规模捷径集下界$\widetilde{\Omega}(n^{1/4}$的近期构造（Bodwin和Hoppenworth [FOCS 2023]）的大幅简化。我们强调，我们的简化完全去除了此前所有下界构造中使用的B\'ar\'any和Larman [Math. Ann. 1998]的凸集。我们的简化还去除了对随机性的需求，并进一步去除了一些对数因子。这使我们能将构造推广到更高维，进而可用于展示以下结果。对于$O(m)$规模的捷径集，我们展示了$\Omega(n^{1/5})$下界，改进了先前最佳的$\Omega(n^{1/8})$下界。对于所有$\varepsilon > 0$，我们展示存在$\delta > 0$，使得存在$n$顶点$O(n)$边图$G$，其中添加任意大小为$O(n^{2-\varepsilon})$的捷径集仍使$G$的直径保持为$\Omega(n^\delta)$。与Hesse [SODA 2003]已知的类似结果相比，这改进了所构造图的稀疏性。我们还考虑了捷径集的源向设定：给定图$G=(V,E)$、集合$S\subseteq V$，通过从$G$的传递闭包中添加边集$H$，能在多大程度上减小$G$的源向直径$\max_{(s, v) \in S \times V, \text{dist}(s, v) < \infty} \text{dist}(s,v)$？我们展示对于任意整数$d \ge 2$，存在$n$个顶点上的图$G=(V, E)$和$S \subseteq V$满足$|S| = \widetilde{\Theta}(n^{3/(d+3)})$，使得当添加$O(n)$或$O(m)$条捷径时，源向直径为$\widetilde{\Omega}(|S|^{1/3})$。