低拥塞捷径与图参数

低拥塞捷径的概念由 Ghaffari 和 Haeupler [SODA2016] 提出，用于设计在受限网络拓扑中快速运行的 CONGEST 算法。具体而言，给定特定图类 $X$，一个为 $X$ 中任意实例构造质量 $q$ 的捷径的 $f$ 轮算法，可导出求解最小生成树和最小割等若干基本图问题的 $\tilde{O}(q + f)$ 轮算法。本文考虑低拥塞捷径的质量与三个主要图参数——弦性、直径和团宽——之间的关系。论文的主要贡献有三方面：（1）我们展示了一个 $O(1)$ 轮算法，为任意 $k$-弦图构造质量为 $O(kD)$ 的低拥塞捷径，并证明该构造的质量与运行时间在多对数因子内近乎最优。（2）我们提出两种算法，分别针对 $D=3$ 的图在 $\tilde{O}(n^{1/4})$ 轮内构造质量为 $\tilde{O}(n^{1/4})$ 的低拥塞捷径，以及针对 $D=4$ 的图在 $\tilde{O}(n^{1/3})$ 轮内构造质量为 $\tilde{O}(n^{1/3})$ 的低拥塞捷径。这些结果显然推导出分别针对 $D=3$ 和 $4$ 的、运行于 $\tilde{O}(n^{1/4})$ 和 $\tilde{O}(n^{1/3})$ 轮的两类 MST 算法，几乎弥合了 Lotker 等人 [Distributed Computing 2006] 最初提出的小直径图 MST 构造中长期存在的复杂度鸿沟。（3）我们通过对一种团宽为六的网络拓扑的展示，说明限制团宽无助于良好捷径的构造，其中 MST 构造代价与一般情况同样高昂。