在 Congested Clique 模型中 O(1) 轮内求解 MST

我们提出了一种分布式随机算法，在 Congested Clique 模型中，以高概率在 O(1) 轮内找到给定图的最小生成树（MST）。Congested Clique 模型中的输入图是一个具有 n 个节点的图，其中每个节点最初只知道其关联边。通信图是一个具有有限边带宽的团：任意两个节点（在输入图中不一定是相邻节点）可以交换 $O(\log n)$ 比特。与先前的工作一样，MST 算法的关键部分是高效的连通分量（CC）算法。然而，与以前的方法不同，我们并不旨在模拟标准的 Boruvka 算法，至少在 CC 算法的初始阶段是如此。相反，我们开发了一种新技术，该技术结合了输入图的稀疏采样子图的连通分量，以加速发现原始输入图连通分量的过程。更具体地说，我们开发了一种稀疏化技术，将 O(1) 轮内的初始 CC 问题归约为其两个受限实例。前一个实例的输入是一个最大度为 $O(\log \log n)$ 的图——这里我们的样本结合技术发挥了作用。在后一个实例中，已知输入图划分为 $O(n/\log \log n)$ 个连通分量。这为应用先前的算法在 O(1) 轮内确定连通分量提供了机会。我们的结果解决了 Lotker 等人 [SPAA 2003; SICOMP 2005] 的 $O(\log \log n)$ 算法所针对的问题，并改进了先前 Ghaffari 等人 [PODC 2016] 的 $O(\log^* n)$ 算法和 Hegeman 等人 [PODC 2015] 的 $O(\log \log \log n)$ 算法。它还确定了在 congested clique 中 MST 以及其他图问题（包括二分性、割验证、s-t 连通性和环包含）的 $\Theta(1)$ 轮复杂度。