随机采样在节点拥塞团模型 MST 问题中的应用

Lotker 等人[SICOMP'05]提出的拥塞团(Congested Clique)模型旨在为覆盖网络提供一个简单的抽象。拥塞团是一种分布式(或并行)计算模型，其中有 $n$ 个具有来自集合 [n] 的唯一标识符的参与者，它们在同步轮次中执行计算。每轮由无限本地计算阶段和通信阶段组成。在通信时，每对参与者被允许交换一条大小为 $O(\log n)$ 比特的单消息。由于在单轮中每个参与者甚至可以与 $\Theta(n)$ 个其他参与者通信，该模型似乎过于强大，难以模拟底层网络产生的带宽限制。在本文中我们研究由 Augustine 等人[arxiv1805]提出的拥塞团模型的一个受限版本，即节点拥塞团(NCC)模型，其中每个参与者在每通信阶段只允许发送/接收 $O(\log n)$ 条消息。更确切地说，我们提供了通信原语，将 Augustine 等人[arxiv1805]的 MST 算法的轮复杂度改进到 $O(\log^3 n)$ 轮，并给出了一个解决生成森林(SF)问题的 $O(\log^2 n)$ 轮算法。此外，我们提出了一种基于 Karger 等人[JACM'95]随机采样技术的方法，给出了一个解决最小生成森林(MSF)问题的 $O(\log^2 n \log \Delta / \log \log n)$ 轮算法。除了更快的 SF/MSF 算法外，我们认为关键贡献在于——在 NCC 模型中高效实现基本协议——对 Karger 等人[JACM'95]采样方法的一个特例以及 Pemmaraju 和 Sardeshmukh [FSTTCS'16]的相关结果进行了更紧的分析——所需 $O((k +\log n)\log n\log k)$ 比特且提供需 $O((k +\log n)\log k)$ 步恢复过程的高效 k-稀疏恢复数据结构。