分布式网络中具有 o(m) 通信的 MST 的构建与即时修复

在CONGEST模型中，通信网络是一个无向图，其$n$个节点为处理器，其$m$条边为处理器之间的通信链路。在任意给定时间步，每个节点可向每个邻居发送大小为$O(\log n)$的消息。针对同步模型，我们证明：若所有节点在同一轮开始，且每个节点知道其ID及邻居的ID，或者在MST情况下知道其关联边的不同权重并知道$n$，则存在蒙特卡洛算法以高概率成功确定最小生成森林（MST）和生成森林（ST），分别使用$O(n \log^2 n/\log\log n)$条消息用于MST，以及$O(n \log n )$条消息用于ST。这些结果反驳了Awerbuch等人1990年JACM中指出的“经验定理”，即广播树的分布式构建需要$\Omega(m)$条消息。该下界已在那里及其他论文中对某些CONGEST模型给出；我们的协议展示了这些模型的局限性。动态分布式网络是指经历在线边插入或删除的网络。我们还展示了如何在具有异步通信的动态网络中修复MST或ST。边删除在MST中可用$O(n\log n /\log \log n)$条期望消息处理，在ST问题中用$O(n)$条期望消息处理，而边插入在最坏情况下使用$O(n)$条消息。我们称此为“即时”更新，因为我们假设在处理边更新之间不进行预处理或存储额外信息。此前解决该问题且每次更新使用摊还$o(m)$条消息的算法需要在更新之间进行大量预处理和额外本地存储。