通过低拥塞捷径实现近乎普适最优的分布式拉普拉斯求解器

本文将对 Forster、Goranci、Liu、Peng、Sun 和 Ye（FOCS `21）近期提出的（近乎）存在最优分布式拉普拉斯求解器精炼为（近乎）普适最优分布式拉普拉斯求解器。具体而言，当拓扑已知时，我们证明任意具有捷径质量 $\text{SQ}(G)$ 的 $n$ 节点图上的拉普拉斯系统可在 $n^{o(1)} \text{SQ}(G) \log(1/\varepsilon)$ 轮内求解，其中 $\varepsilon$ 为所需精度。这几乎匹配我们的下界，该下界保证 $G$ 上任何正确算法都需 $\widetilde{\Omega}(\text{SQ}(G))$ 轮，即便对于 $\varepsilon \le 1/2$ 的粗略解亦然。即使在未知拓扑情形（即标准 CONGEST）下，相同界在多数相关网络中也成立。此外，基于低拥塞捷径现有构造的推测性改进，CONGEST 结果将匹配已知拓扑情形。进而，遵循分布式算法近期研究脉络，我们考虑一种混合通信模型，其以节点容量团（NCC）模型形式增强 CONGEST 的有限全局能力。在该模型中，我们证明存在轮复杂度为 $n^{o(1)} \log(1/\varepsilon)$ 的拉普拉斯求解器。这些结果的统一线索，亦是我们主要技术贡献，在于对标准逐块聚合问题的新颖拥塞泛化研究。我们在 Supported-CONGEST 模型中为该原语开发了近最优算法，在（标准）CONGEST 中开发了近乎最优算法，以及针对有界树宽图的稍差界的极简算法。该原语可直接用于加速 FOCS`21 拉普拉斯求解器。我们相信该原语将发现进一步的独立应用。