具有小跳界的线性大小跳集与低内存分布式路由

对于一个正参数 $\beta$，加权无向图 $G = (V,E,\omega)$ 中一对顶点 $u,v$ 的 $\beta$-有界距离是指 $G$ 中最多有 $\beta$ 条边（即跳）的最短 $u-v$ 路径的长度。对于上述 $\beta$ 和 $\epsilon>0$，$G = (V,E,\omega)$ 的一个 $(\beta,\epsilon)$-跳集是定义在同一顶点集上的图 $G' =(V,H,\omega_H)$，使得 $G$ 中的所有距离都被 $G\cup G'$ 中的 $\beta$-有界距离以 $(1+\epsilon)$ 因子近似。跳集是一种基础的图论与图算法构造，广泛用于各种计算环境下的距离相关问题。当前现有的跳集构造产生的跳集要么具有 $\Omega(n \log n)$ 条边，要么具有 $n^{\Omega(1)}$ 的跳界。在本文中，我们设计了一种线性大小跳集的构造，其跳界为 $(\log n)^{\log^{(3)}n+O(1)}$。这几乎是指数级地改进了先前的界。我们还设计了在 PRAM 和分布式环境下我们构造的高效实现。现有的唯一用于计算具有常数（即独立于 $n$）跳界的跳集的 PRAM 算法 \cite{EN16} 需要 $n^{\Omega(1)}$ 时间。我们设计了一种具有多对数运行时间的 PRAM 算法来计算具有常数跳界的跳集，即我们的运行时间比先前算法指数级地更好。此外，这些跳集也比 \cite{EN16} 中的对应跳集显著更稀疏。我们利用我们的跳集设计了一种分布式路由方案，该方案在算法的预处理和路由阶段中顶点个体内存需求 $\tilde{O}(n^{1/k})$ 与伸展度 $O(k)$ 之间展现出近最优权衡，同时具有近最优构造时间 $\approx D + n^{1/2 + 1/k}$，其中 $D$ 是输入图的跳直径。