常数跳界跳集及其在近似最短路径中的应用

对于带权无向 $n$-顶点图 $G=(V,E)$，一个 $(\beta,\epsilon)$-跳集是一组边，将其加入图中可保证每对顶点之间有一条包含至多 $\beta$ 条边、且长度在最短路径的 $1+\epsilon$ 之内的路径。Cohen 在其开创性论文 \cite[JACM 2000]{C00} 中在近似最短路径的并行计算背景下引入了跳集的概念，此后它在动态图算法、分布式计算和流模型等多种其他场景中被广泛运用。Cohen \cite{C00} 设计了用于构造跳数关于 $n$ 为 {\em 多对数} 的跳集的高效算法。自其论文在 STOC'94 发表以来，她的构造一直是最先进的，即二十余年之久。本文中，我们展示了首个具有 {\em 常数跳数} 的稀疏跳集的构造。我们还找到了多种计算环境下跳集的高效算法，改进了已知最佳构造。总体而言，我们的跳集在参数以及构造所需资源方面都严格优于 \cite{C00} 中的跳集。我们展示了我们的结果对于从 $s$ 个源点计算近似最短路径这一基本问题的适用性。对于广泛的 $s$ 范围，我们的结果改进了该问题在并行、分布式和流模型中的运行时间。