基于低跳模拟器的并行近似无向最短路径

我们提出了一种 $(1+\varepsilon)$-近似的并行算法来计算无向图中最短路径，对 $n$ 个节点 $m$ 条边的图达到 $\mathrm{poly}(\log n)$ 深度和 $m\mathrm{poly}(\log n)$ 工作量。尽管具有（近）最优运行时间的顺序算法已为人知数十年，近最优并行算法却被证明是艰巨得多的挑战。对于 $(1+\varepsilon)$-近似，所有先前具有 $\mathrm{poly}(\log n)$ 深度的算法至少执行 $\Omega(mn^{c})$ 工作量（$c>0$ 为某常数）。改进 Cohen (STOC'94) 提出的这一长期存在的上界已悬置 25 年。我们开发了若干具有独立意义的新工具。其中之一是超越 hopset 的新概念——低跳模拟器——一种 $\mathrm{poly}(\log n)$-近似模拟器图，其中每条最短路径至多具有 $O(\log\log n)$ 跳（边）。低跳模拟器的直接应用包括 $\mathrm{poly}(\log n)$-近似单源最短路径(SSSP)、Bourgain 嵌入、度量树嵌入和低直径分解的并行算法，均具有 $\mathrm{poly}(\log n)$ 深度和 $m\mathrm{poly}(\log n)$ 工作量。为将近似比提升至 $(1+\varepsilon)$，我们引入了可压缩预条件子，并在 Sherman 的框架(SODA'17)内应用以求解更一般的无容量最小费用流（亦称转运问题）问题。我们的算法在 $\mathrm{poly}(\log n)$ 深度下使用 $m\mathrm{poly}(\log n)$ 工作量计算 $(1+\varepsilon)$-近似无容量最小费用流。作为结果，它也将前沿顺序运行时间从 $m\cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ 改进到 $m\mathrm{poly}(\log n)$。