分布式与流模型中的近最优近似最短路径与转运

我们提出了一种求解转运问题（也称为无容量限制最小费用流）的方法，该方法在带非负边权的无向图中利用定制的梯度下降算法达到 $1 + \varepsilon$ 的乘法误差。使用 $\tilde{O}(\cdot)$ 隐藏 $n$（图中节点数）的多对数因子，我们的梯度下降算法需要 $\tilde O(\varepsilon^{-2})$ 次迭代，且在每次迭代中求解一个乘法误差为 $\operatorname{polylog} n$ 的转运问题实例。特别地，这允许我们通过对数伸展度的稀疏 spanner 计算解来执行单次迭代。利用随机舍入方案，我们可进一步将该方法推广至求解单源最短路径（SSSP）问题的近似解。因此，我们改进了先前的工作，获得如下结果：(1) Broadcast CONGEST 模型：使用 $\tilde{O}((\sqrt{n} + D)\varepsilon^{-3})$ 轮实现 $(1 + \varepsilon)$-近似 SSSP，其中 $D$ 为网络的（跳数）直径。(2) Broadcast congested clique 模型：使用 $\tilde{O}(\varepsilon^{-2})$ 轮实现 $(1 + \varepsilon)$-近似转运与 SSSP。(3) 多遍流模型：使用 $\tilde{O}(n)$ 空间与 $\tilde{O}(\varepsilon^{-2})$ 遍实现 $(1 + \varepsilon)$-近似转运与 SSSP。这些模型上先前最快的 SSSP 算法利用了稀疏跳集。我们绕过了跳集构造；在我们的方法中计算一个 spanner 即可。上述边界假设非负边权在 $n$ 内为多项式有界；对于一般非负权值，运行时间随非零权值间最大比率的对数缩放。