递减近似全点对最短路径的新权衡

我们为递减全点对最短路径(APSP)问题提供了近似度与运行时间之间的新权衡。对于经历边删除的含 $m$ 条边和 $n$ 个节点的无向图，我们给出四种新的近似递减 APSP 算法，其中两种用于带权图，两种用于无权图。我们的第一个结果是 $(2+ \epsilon)$-APSP，总更新时间为 $\tilde{O}(m^{1/2}n^{3/2})$（当 $m= n^{1+c}$ 且任意常数 $0<c<1$ 时）。在我们工作之前，近似度不超过 $3$ 的带权图最快算法对 $(1+\epsilon)$-APSP 具有总 $\tilde O(mn)$ 更新时间 [Bernstein, SICOMP 2016]。我们的第二个结果是 $(2+\epsilon, W_{u,v})$-APSP，总更新时间 $\tilde{O}(nm^{3/4})$，其中第二项是关于 $W_{u,v}$（从 $u$ 到 $v$ 最短路径上的最大权）的加性拉伸。我们的第三个结果是无权图上的 $(2+ \epsilon)$-APSP，更新时间 $\tilde O(m^{7/4})$，对于稀疏图（$m=o(n^{8/7})$）这是首个亚二次的 $(2+\epsilon)$-近似。我们针对无权图的最后一个结果是 $(1+\epsilon, 2(k-1))$-APSP（$k \geq 2$），总更新时间 $\tilde{O}(n^{2-1/k}m^{1/k})$（当 $m=n^{1+c}$ 且任意常数 $c >0$ 时）。作为比较，在 $(1+\epsilon, 2)$-近似这一特例中，这改进了 [Henzinger, Krinninger, Nanongkai, SICOMP 2016] 总更新时间 $\tilde{O}(n^{2.5})$ 的最先进算法。我们所有结果均为随机化算法，可对抗不知情对手，并具有常数查询时间。