n对最短路径与全节点最短圈的近似算法及困难性

我们研究具有$n$个节点和$m$条边的图上两个相关问题的可近似性：$n$对最短路径（$n$-PSP），其目标是找到$O(n)$个预指定点对之间的最短路径；以及全节点最短圈（ANSC），其目标是找到经过每个节点的最短圈。近似$n$-PSP此前已被研究，主要是在距离预言机（distance oracle）的背景下。我们提出如下问题：近似$n$-PSP是否能比使用距离预言机或全对最短路径（APSP）更快地求解。ANSC此前也有研究，但仅涉及精确算法而非近似。我们对$n$-PSP和ANSC的可近似性进行了深入研究，给出了一系列在运行时间与近似比之间进行权衡的算法与条件性下界。我们条件性下界结果的一个亮点是：对于任意整数$k\ge 1$，在组合$4k$-团假设下，不存在运行时间为$O(m^{2-2/(k+1)}n^{1/(k+1)-\epsilon})$、近似比优于$1+1/k$的无权无向$n$-PSP组合算法。这与Agarwal（2014）的结果所隐含的上界几乎匹配。我们算法结果的一个亮点是：对于任意常数$\epsilon>0$，可以以$\tilde O(m+ n^{3/2+\epsilon})$时间、近似因子$2+\epsilon$（以及作为$\epsilon$函数的加性误差）求解$n$-PSP和ANSC。对于$n$-PSP，我们的条件性下界意味着该近似比对于任何次二次时间组合算法几乎是最优的。我们进一步扩展这些$n$-PSP和ANSC算法，获得了包含近线性时间算法的时间/精度权衡。