基于短环移除的P类问题中近似困难性：环检测、距离预言及更多

我们提出一种新技术，可在不意外移除三角形中几乎完全去除图中的短环。因此，对于任意常数$k\geq 4$，三角查找问题即使在近乎无$k$-环的图中也不会变易。三角查找是P类中许多条件性下界的基础，主要针对距离计算问题，而最坏情况实例中存在大量$4$-或$5$-环一直是解决重大开放问题的障碍。近似困难性：是否存在预处理时间为$m^{1+o(1)}$、查询时间为$m^{o(1)}$且能达到常数近似的距离预言（distance oracle）？具有此类理想时间界的现有算法仅能达到超常数近似因子，而仅有$3-\epsilon$因子被条件性排除（Pătraşcu、Roditty和Thorup；FOCS 2012）。我们证明在$3$-SUM或APSP猜想下不可能有$O(1)$近似。具体而言，我们证明$k$-近似需要$\Omega(m^{1+1/ck})$时间，该下界在常数$c$范围内紧致。该下界即使对查询预先给定的离线版本也成立，并扩展到动态最短路径等其他问题。$4$-环问题：细粒度复杂性中一个臭名昭著的开放问题是从亚二次甚至线性时间检测图中$4$-环的算法推导出任何惊人结论。我们证明对所有$k\geq 4$，$k$-环检测需要$\Omega(m^{1.1194})$时间，除非我们能在$\sqrt{n}$度图中以$O(n^{2-\delta})$时间检测三角形；这一突破即便由最优矩阵乘法算法也无法推出。