基于加性组合学的近似距离预言机更强 3-SUM 下界

“短圈移除”技术最近由 Abboud、Bringmann、Khoury 和 Zamir（STOC '22）引入，用于证明细粒度近似困难性。其主要技术结果是，在 3-SUM 猜想下，即使短圈数量很少，即在 $k$-圈数量为 $O(n^{k/2+\gamma})$（$\gamma<1/2$）时，列出 $n^{1/2}$-正则图中的所有三角形也是 $n^{2-o(1)}$-困难的。Abboud 等人通过对图应用结构对随机性论证得到 $\gamma\geq 1/4$。在本文中，我们退一步，对 3-SUM 问题的数应用概念上类似的论证。因此，我们达到了最佳可能的 $\gamma=0$ 以及在 3-SUM 猜想下的如下下界：* 近似距离预言机：开创性的 Thorup-Zwick 距离预言机在 $O(m n^{1/k})$ 时间内预处理图后达到拉伸 $2k\pm O(1)$。对于相同拉伸，并假设查询时间为 $n^{o(1)}$，Abboud 等人证明了预处理时间的 $\Omega(m^{1+\frac{1}{12.7552 \cdot k}})$ 下界；我们将其改进为 $\Omega(m^{1+\frac1{2k}})$，仅与上限相差因子 2。我们还得到了拉伸 $2+o(1)$ 和 $3-\epsilon$ 的紧界以及动态最短路径的更高下界。* 列出 4-圈：Abboud 等人证明了列出图中所有 4-圈的第一个超线性下界，排除了 $(m^{1.1927}+t)^{1+o(1)}$ 时间算法，其中 $t$ 为 4-圈的数量。我们通过证明 $\widetilde{O}(\min(m^{4/3},n^2) +t)$ 上限在 $n^{o(1)}$ 因子内是紧的，解决了这一基本问题的复杂性。我们的结果利用了加性组合学中丰富的工具集，最显著的是 Balog-Szemerédi-Gowers 定理和 Rusza 覆盖引理。一个可能具有独立意义的关键要素是：当其中一个集合具有小加倍时，3-SUM 的次二次算法。