字符串中阿贝尔平方与加性平方因子检测的困难性

我们证明了与在字符串中寻找阿贝尔平方（Abelian square）和加性平方（additive square）因子相关的若干问题的 3SUM 困难性（假设 3SUM 猜想成立，则不存在强次二次时间算法）。特别地，我们得出了寻找此类因子的最先进算法的条件最优性结论。总体而言，我们展示了以下问题的 3SUM 困难性：(a) 检测奇数半长的阿贝尔平方因子，(b) 计算所有阿贝尔平方因子的中心，(c) 在长度为 $n$、元素大小为 $n^{\mathcal{O}(1)}$ 的整数串中检测加性平方因子，以及 (d) 在大小为 $n^{\mathcal{O}(1)}$ 的整数序列 $x_1,\dots,x_n$ 中计算双三项等差数列（即寻找指标 $i \ne j$ 使得 $(x_i+x_j)/2=x_{(i+j)/2}$）的问题。问题 (d) 本质上是 Erickson 手稿中提出的 AVERAGE 问题的卷积版本。我们借助 Dudek 等人 [STOC 2020] 近期发展的技术，为其获得了条件下界。问题 (d) 立即归约到问题 (c)，并且是归约到问题 (a) 和 (b) 的一步。在对问题 (a) 和 (b) 的条件下界中，我们应用了 Amir 等人 [ICALP 2014] 的编码，并使用包含任意长无阿贝尔平方字符串的若干字符串工具对其进行了扩展。我们的归约也意味着在常数大小字母表上检测字符串中阿贝尔平方的条件下界。我们还通过应用 Chan 和 Lewenstein [STOC 2015] 的结果，展示了此情况下的次二次上界。