正则化最小二乘问题分裂 Bregman 方法的收敛性证明

分裂 Bregman (SB) 方法 [T. Goldstein 和 S. Osher, SIAM J. Imaging Sci., 2 (2009), pp. 323-43] 是一种基于快速分裂的算法，通过引入单个变量分裂来解耦数据拟合项和正则化项，从而求解具有通用 $l_1$（例如全变分 (TV) 和压缩感知 (CS)）正则化的图像重建问题，产生可分离（或部分可分离）且易于最小化的简单子问题。已有若干收敛性证明提出，但这些证明要么对分裂施加“满列秩”假设，要么假设所有子问题中的更新是精确的。然而，这些假设在许多应用中并不切实际，例如 X 射线计算机断层扫描 (CT) 图像重建，其中由于高度移变 Hessian，内部最小二乘问题通常无法高效求解。在本文中，我们表明当数据拟合项为二次型时，SB 方法是一种收敛的交替方向乘子法 (ADMM)，并利用 [J. Eckstein 和 D. P. Bertsekas, Mathematical Programming, 55 (1992), pp. 293-318, Theorem 8] 给出了带有不精确更新的直接收敛性证明。此外，由于 SB 方法仅是 ADMM 算法的一个特例，若适当选择增广拉格朗日 (AL) 惩罚参数，ADMM 算法似乎可能比 SB 方法更快。为了提供一个具体示例，我们对具有二次数据拟合项和正则化项的图像恢复问题，使用两种分裂对 ADMM 算法进行了收敛率分析。根据我们的分析，我们可以表明，如果 SB 方法的 AL 惩罚参数是次优的，那么双分裂 ADMM 算法可以比 SB 方法更快。我们进行了数值实验以验证我们的分析。