与 (min,+)-卷积等价的问题

近年来，在解释许多基本多项式可解问题中改进朴素解法的表观困难性方面取得了重大进展。这些进展以条件性下界——即从假设为困难的问题进行归约——的形式出现。这些困难问题包括 3SUM、All-Pairs Shortest Path、SAT、Orthogonal Vectors 等。在 $(\min,+)$-卷积问题中，目标是给定序列 $(a[i])^{n-1}_{i=0}$ 和 $(b[i])_{i=0}^{n-1}$，计算序列 $(c[i])^{n-1}_{i=0}$，其中 $c[k] =$ $\min_{i=0,\ldots,k}$ $\{a[i]$ $+$ $b[k-i]\}$。这可以在 $O(n^2)$ 时间内轻松完成，但对于 $\varepsilon > 0$，尚无已知的 $O(n^{2-\varepsilon})$ 算法。本文将 $(\min,+)$-卷积问题作为困难性假设进行了系统研究。首先，我们建立了该问题与一组其他问题的等价性，包括经典背包问题的变体以及与次可加序列相关的问题。$(\min,+)$-卷积问题已被用作许多问题算法的构建模块，特别是字符串学中的问题。它也曾作为临时性困难假设出现。其次，我们研究了其中一些联系，并提供了新的归约和其他结果。我们还解释了为什么对于某些问题，用 SETH 替换该假设可能不可行。