无界子集和问题与Frobenius问题的细粒度复杂性研究

考虑方程 $a_0 x_0 + \ldots + a_n x_n = t$ 的正整数解 $x \in \mathbb{Z}^{n+1}$。在所谓无界子集和问题中,目标是判定这样的解是否存在;而在Frobenius问题中,目标是计算不存在此类解的最大 $t$。本文研究无界子集和、Frobenius问题以及这些问题的一种推广的算法复杂性。更确切地说,我们研究运行时间依赖于最小数 $a_0$ 或相应最大数 $a_n$ 的伪多项式时间算法。对于参数 $a_0$,我们证明所有考虑的问题都与 $(min,+)$-卷积(细粒度复杂性领域的一个基本算法问题)在亚二次意义下等价。借助该等价性,我们获得了所考虑问题的困难性结果(基于不存在亚二次运行时间的 $(min,+)$-卷积算法的假设)以及运行时间改进的算法。该等价性的证明利用了解的结构性质,这是整数规划领域发展出的一种技术。对于以 $a_n$ 为参数的问题复杂性,我们给出了改进的算法。例如,我们给出了Frobenius问题的准线性时间算法,以及基于强指数时间假设的困难性结果。