背包问题的$(1-\epsilon)$-近似算法：近二次时间复杂度

背包问题是理论计算机科学中最基本的问题之一。在$(1 - \epsilon)$-近似设定下，尽管基于$(\min, +)$-卷积假设存在$(n + 1 / \epsilon) ^ {2 - o(1)}$的细粒度下界（[Künnemann, Paturi and Stefan Schneider, ICALP 2017]与[Cygan, Mucha, Wegrzycki and Wlodarczyk, 2017]），现有最佳算法是随机化的，运行时间为$\tilde O\left(n + (\frac{1}{\epsilon})^{11/5}/2^{\Omega(\sqrt{\log(1/\epsilon)})}\right)$ [Deng, Jin and Mao, SODA 2023]，并且是否存在运行时间匹配该下界（至多相差次多项式因子）的算法仍是一个重要的开放问题。我们肯定地回答了该问题，给出了一个确定性的$(1 - \epsilon)$-背包近似方案，其运行时间为$\tilde O(n + (1 / \epsilon) ^ {2})$。我们首先以递归方式扩展一个已知引理，将问题归约为对收益在$[1, 2)$中$n$个物品的$n \epsilon$-加性近似。随后我们针对归约后的问题给出了一个简单高效的基于几何的算法。