3LDT 与 Conv3LDT 非平凡变体之间的等价性

广为人知的 3SUM 猜想断言：对于给定的整数集合，不存在强次二次时间算法来检验其是否包含三个不同元素 $x_1, x_2, x_3$ 满足 $x_1+x_2=x_3$。一个紧密相关的问题是检验给定整数集合是否包含满足 $x_1+x_2=2x_3$ 的不同元素。这可在近线性时间内归约到 3SUM，但令人惊讶的是，确立其 3SUM 困难性的逆向归约此前未知。我们提供了这样的归约，从而解决了 Erickson 的一个开放问题。事实上，我们考虑一个更一般的问题 3LDT，其由整数参数 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 与 $t$ 参数化。该问题中需检验给定整数集合是否包含不同元素 $x_1, x_2, x_3$ 满足 $\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2 +\alpha_3 x_3 = t$。我们证明在同一论域 $[-n^c,n^c]$（某 $c\geq2$）上，3LDT 的所有非平凡变体在次二次归约下等价。证明所用主要技术工具是著名的 Behrend 构造的应用，该构造将给定整数集划分为若干避免所选线性方程的子集。我们将结果推广至 Conv3LDT，并证明对所有 $c\geq2$，论域 $[-n^c,n^c]$ 上 3LDT 的所有非平凡变体与论域 $[-n^{c-1},n^{c-1}]$ 上 Conv3LDT 的所有非平凡变体均次二次等价，故特别地它们在次二次归约下均与 3SUM 等价。最后，我们展示如何应用 Fischer 等人方法来将任意论域上的 3LDT（Conv3LDT）非平凡变体归约到立方（二次）论域上的同一变体。