关于成对Spanner的尺寸开销

给定一个无向可能带权重的n顶点图$G=(V,E)$与一对集合$\mathcal{P}\subseteq V^2$，子图$S=(V,E')$称为$G$的${\cal P}$-成对$\alpha$-spanner，若对每一对$(u,v)\in\mathcal{P}$有$d_S(u,v)\leq\alpha\cdot d_G(u,v)$。参数$\alpha$称为spanner的伸展度，其尺寸开销定义为$\frac{|E'|}{|{\cal P}|}$。最近讨论了$(1+\epsilon,\beta)$-spanner的加性伸展度与$(1+\epsilon,\beta)$-hopset的跳界之间令人惊讶的联系。一长串工作表明，若spanner/hopset的尺寸约为$n^{1+1/k}$（对某参数$k\ge 1$），则$\beta\approx\left(\frac1\epsilon\right)^{\log k}$。本文建立与成对spanner尺寸开销的新联系。具体而言，我们证明若$|{\cal P}|\approx n^{1+1/k}$，则${\cal P}$-成对$(1+\epsilon)$-spanner的尺寸至少须为$\beta\cdot |{\cal P}|$，其中$\beta\approx\left(\frac1\epsilon\right)^{\log k}$（近似匹配的上界最近在\cite{ES23}中给出）。我们还将成对spanner与hopset的联系扩展到大伸展度情形，给出${\cal P}$-成对$\alpha$-spanner近乎匹配的上界与下界。特别地，我们证明若$|{\cal P}|\approx n^{1+1/k}$，则尺寸开销为$\beta\approx\frac k\alpha$。源向spanner是一种特殊类型的成对spanner，其中${\cal P}=A\times V$（$A\subseteq V$）。优先spanner还给定顶点排序$V=(v_1,\dots,v_n)$，并要求对含更高排名顶点的对提供更好伸展度。通过一系列归约，我们改进了源向与优先spanner的最优结果。