4/3 加性伸展子指数是紧的

伸展子是一种近似保持原图成对距离的稀疏子图。众所周知，只要距离误差以乘法度量，伸展子的稀疏性与近似质量之间存在平滑的权衡。该领域的一个核心开放问题是证明或反驳这种权衡在\emph{加性}误差机制下是否也存在。即，是否对所有 $\varepsilon>0$，都存在常数 $k_{\varepsilon}$ 使得每个图都有边数为 $O(n^{1+\varepsilon})$ 的伸展子，将其成对距离保持在 $+k_{\varepsilon}$ 以内？先前的下界与该问题的肯定解答一致，而先前的上界展示了权衡曲线的开端：所有图都有边数为 $O(n^{3/2})$ 的 $+2$ 伸展子、边数为 $\tilde{O}(n^{7/5})$ 的 $+4$ 伸展子，以及边数为 $O(n^{4/3})$ 的 $+6$ 伸展子。然而，进展神秘地停滞在 $n^{4/3}$ 界，尽管学界付出了巨大努力，该问题在所有 $0 < \varepsilon < 1/3$ 范围内一直未解。我们的主要结果是对该开放问题的一个令人惊讶的否定解答，即使在高度推广的设置下也是如此。我们展示了一个新的信息论不可压缩下界：不存在能将图压缩为 $O(n^{4/3 - \varepsilon})$ 比特以便在 $+n^{o(1)}$ 误差内恢复距离信息的函数。作为我们定理的特例，我们得到了加性伸展子稀疏性的紧下界：边数为 $O(n^{4/3})$ 的 $+6$ 伸展子在其指数上无法改进，即使允许任意次多项式大小的加性误差。我们的定理也暗示了相关对象的新的下界；例如，已有二十年历史的边数为 $O(n^{4/3})$ 的 $+4$ 仿真器在指数上也无法改进，除非误差允许为多项式级。